Le modèle des résultats potentiels (Potential Outcomes Framework), souvent associé au modèle causal de Rubin, permet de définir et de quantifier les effets d’une intervention.

L’idée centrale est simple : pour mesurer l’effet causal d’une action, il faudrait comparer ce qui se passe avec et sans cette action, pour une même unité.

Cette approche constitue l’un des fondements de l’inférence causale moderne.

Résultats potentiels et contrefactuels

#

Prenons l’exemple d’une campagne promotionnelle.

Pour chaque client, deux résultats sont possibles :

• (Y_i(1)) : montant dépensé si le client reçoit la promotion.
• (Y_i(0)) : montant dépensé si le client ne reçoit pas la promotion.

L’effet causal individuel est défini par :

[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) ]

Exemple :

Dans cet exemple fictif, les deux résultats potentiels sont connus pour illustrer le calcul.

En réalité, un seul des deux résultats est généralement observable pour un même client, au même moment.

L’autre est appelé résultat contrefactuel.

Le problème fondamental de l’inférence causale

#

On note (T_i) l’indicateur de traitement :

• (T_i = 1) : l’unité reçoit le traitement.
• (T_i = 0) : l’unité ne reçoit pas le traitement.

Le résultat observé s’écrit :

[ Y_i = T_i Y_i(1) + (1-T_i)Y_i(0) ]

Autrement dit :

Ce problème est connu sous le nom de Fundamental Problem of Causal Inference.

On ne peut généralement pas observer simultanément les deux résultats potentiels d’une même unité.

L’objectif consiste donc à estimer des effets causaux à partir de comparaisons entre unités, sous des hypothèses appropriées.

ATE : Average Treatment Effect

#

L’ATE mesure l’effet causal moyen du traitement sur l’ensemble de la population cible.

[ ATE = \mathbb{E}[Y(1)-Y(0)] ]

Il répond à la question :

Quel serait l’effet moyen si toute la population recevait le traitement plutôt que si personne ne le recevait ?

Reprenons notre exemple fictif :

[ ATE = \frac{20-10+30}{3} \approx 13{,}33,€ ]

La promotion génère donc un effet moyen de +13,33 € par client dans cette population fictive.

Attention : l’ATE concerne une population cible définie. Il ne se généralise pas automatiquement à d’autres populations.

ATT : Average Treatment Effect on the Treated

#

L’ATT mesure l’effet causal moyen uniquement sur les unités ayant effectivement reçu le traitement.

[ ATT = \mathbb{E}[Y(1)-Y(0)\mid T=1] ]

Il répond à une question différente :

Quel a été l’effet moyen de la promotion sur les clients qui l’ont réellement reçue ?

Supposons que les clients A et C aient bénéficié de la campagne, contrairement au client B.

[ ATT = \frac{20+30}{2}=25,€ ]

L’effet moyen sur les clients traités est donc de +25 €, contre +13,33 € pour l’ensemble des clients.

Cette différence illustre l’hétérogénéité des effets causaux : une intervention ne produit pas nécessairement le même effet sur tous les individus.

Ces calculs restent illustratifs, puisque les effets individuels ne sont généralement pas directement observables.

ATE, ATT et ATC : quelles différences ?

#

On distingue plusieurs estimands, c’est-à-dire les quantités causales que l’on souhaite estimer.

L’ATC (Average Treatment Effect on the Controls) s’écrit :

[ ATC = \mathbb{E}[Y(1)-Y(0)\mid T=0] ]

Le CATE (Conditional Average Treatment Effect) s’écrit :

[ CATE(x)=\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)\mid X=x] ]

où (X) représente des caractéristiques observées des unités, définies avant le traitement.

Le choix de l’estimand dépend avant tout de la question métier, et non de l’algorithme utilisé.

Pourquoi une différence de moyennes ne suffit-elle pas ?

#

Une erreur fréquente consiste à comparer directement les résultats moyens des groupes traités et non traités :

[ \mathbb{E}[Y\mid T=1]-\mathbb{E}[Y\mid T=0] ]

Cette différence observée n’est pas nécessairement un effet causal.

Elle peut se décomposer en :

[ \underbrace{\mathbb{E}[Y\mid T=1]-\mathbb{E}[Y\mid T=0]}_{\text{Différence observée}}

#

\underbrace{\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)\mid T=1]}{\text{ATT}} + \underbrace{\mathbb{E}[Y(0)\mid T=1]-\mathbb{E}[Y(0)\mid T=0]}{\text{Biais de sélection}} ]

Cette décomposition suppose notamment que le résultat observé correspond bien au résultat potentiel associé au traitement reçu.

Exemple : une entreprise réserve ses promotions aux meilleurs clients.

Après la campagne :

• Les clients traités dépensent davantage.
• Mais ils dépensaient peut-être déjà davantage avant la promotion.

La différence de dépenses observée mélange alors l’effet éventuel de la promotion et les différences initiales entre les groupes.

Hypothèses fondamentales

#

Le cadre des résultats potentiels repose sur plusieurs notions et hypothèses importantes.

Les deux premières sont souvent discutées dans le cadre de SUTVA (Stable Unit Treatment Value Assumption), qui suppose également des versions du traitement suffisamment bien définies.

L’échangeabilité et la positivité deviennent particulièrement importantes lorsqu’on cherche à identifier des effets à partir de données observationnelles.

Ces hypothèses ne sont pas automatiquement garanties par les données. Certaines ne peuvent pas être vérifiées directement.

Elles seront approfondies dans le chapitre consacré à l’identification causale.

Applications business

#

Ces estimands mesurent l’effet sur l’indicateur choisi : ventes, revenus, conversions, etc.

Un effet positif sur le chiffre d’affaires ne signifie pas nécessairement que l’intervention est rentable. Les coûts et les contraintes opérationnelles doivent également être pris en compte.

À retenir

#

• Les résultats potentiels décrivent ce qui se produirait avec ou sans intervention.
• Le contrefactuel correspond au résultat potentiel non observé.
• L’effet causal individuel est généralement impossible à observer directement.
• L’ATE mesure l’effet moyen sur une population cible.
• L’ATT mesure l’effet moyen sur les unités effectivement traitées.
• L’ATC et le CATE répondent à d’autres questions de décision.
• Une différence de moyennes observée n’est pas nécessairement causale.
• Le choix de l’estimand précède celui de la méthode d’estimation.